최대공약수 하나 빼기
문제
정수 A가 B로 나누어 떨어지면, B는 A의 약수이고 A는 B의 배수이다.
최대공약수란 정수의 공통된 약수 중 가장 큰 수를 말한다.
예를 들어, 12와 8의 공통된 약수 1, 2, 4 중에서 가장 큰 것은 4이기 때문에 12와 8의 최대공약수는 4이다.
N개의 정수 중에서 임의의 수 K를 뺐을 때, 나머지 N-1개의 최대공약수가 가장 커지는 것을 찾는 프로그램을 작성하시오.
이때, 최대공약수는 K의 약수가 되면 안 된다.
예를 들어, 정수 8, 12, 24, 36, 48에서 8을 빼면 나머지 12, 24, 36, 48의 최대공약수는 12가 되고,
12는 빠진 수 8의 약수가 아니기 때문에 정답이 될 수 있다.
이때, 다른 수를 빼도 최대공약수가 8보다 커질 수 없다.
하지만, 8, 12, 20, 32, 36의 경우에는 그 무엇을 빼더라도 나머지 수의 최대공약수가 K의 약수가 되기 때문에, 정답을 구할 수 없다.
N개의 수가 주어졌을 때, 정수 하나를 빼서 만들 수 있는 가장 큰 최대공약수를 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 정수의 개수 N (4 ≤ N ≤ 1,000,000)이 주어진다.
둘째 줄부터 N개의 줄에는 N개의 수가 주어진다. 각각의 수는 20억을 넘지 않는 자연수이다.
출력
첫째 줄에 정수 하나를 빼서 만들 수 있는 가장 큰 최대공약수를 출력하고, 공백을 출력한 다음 뺀 수를 출력한다.
뺀 수를 K라고 했을 때, 나머지 수의 최대공약수가 K의 약수가 되면 안 된다.
만약 정답이 없는 경우에는 -1을 출력한다.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
예제 입력 1
5
8 12 24 36 48
예제 출력 1
12 8
예제 입력 2
5
8 12 20 32 36
예제 출력 2
-1
풀이
이게 왜 누적합이지 하고서 못 풀고 풀이를 보고 이해했다.
prefix, suffix의 응용은 정말 신기하다는 생각이 들었다. 지식 +1
아이디어는 우선, 왼쪽부터 시작해서 gcd를 통해 최대공약수를 prefix 배열로 만들고,
오른쪽부터 시작해서 또 최대공약수 계산을 suffix로 만든다.
만약 맨 처음 것을 뺀다면 suffix로 만든 배열의 앞에서 2번째가 결과적 최대공약수고
맨 뒤를 뺀다면 prefix의 뒤에서 2번째가 최대 공약수이다.
중간을 뺀다면 prefix의 i-1과 suffix의 i+1의 최대 공약수가 최대 공약수이다.
이렇게 계산한 다음 나머지 수들의 최대 공약수의 배수인지만 확인해주면 된다.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
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29
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35
36
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38
39
40
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43
44
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49
50
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55
56
57
58
59
60
61
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63
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65
66
67
68
69
70
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75
76
77
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <tuple>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;
int gcd(int a, int b){
if(a<b)swap(a,b);
int temp;
while(b!=0){
temp = a%b;
a = b;
b = temp;
}
return a;
}
int main()
{
ios_base ::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);
cout.tie(NULL);
long long a, b, c;
int t;
int n, m, k;
int mi = 1e9;
cin >> n;
vector<int> v(n);
for(int i=0;i<n;i++){
cin >> v[i];
}
vector<int> pre(n);
pre[0]=v[0];
for(int i=1;i<n;i++){
pre[i] = gcd(v[i], pre[i-1]);
}
vector<int> suf(n);
suf[n-1] = v[n-1];
for(int i=n-2;i>=0;i--){
suf[i] = gcd(v[i], suf[i+1]);
}
// for(int i=0;i<n;i++){
// cout << pre[i] << ' ';
// }cout << '\n';
// for(int i=0;i<n;i++){
// cout << suf[i] << ' ';
// }cout << '\n';
int rm = 0;
int ma = -1;
if(v[0]%suf[1]!=0){
if(ma < suf[1]){
ma = suf[1];
rm = v[0];
}
}
if(v[n-1]%suf[n-2]!=0){
if(ma < suf[n-2]){
ma = suf[n-2];
rm = v[n-1];
}
}
for(int i=1;i<n-1;i++){
if(v[i]%gcd(pre[i-1], suf[i+1])!=0){
if(ma < gcd(pre[i-1], suf[i+1])){
ma = gcd(pre[i-1], suf[i+1]);
rm = v[i];
}
}
}
if(ma==-1)cout << ma;
else cout << ma << ' ' << rm;
return 0;
}