Road To The LegenD,
문제
토니는 LegenD가 되기 위한 여정에 나섰다.
기나긴 여정 중에는 1부터 N까지 번호가 붙은 N개의 마을을 거칠 수 있고, u번 마을에는 마을의 격 h_u가 있다.
토니는 처음에 1번 마을에 있다. 신이 정한 특정한 마을에 도달하면 토니는 LegenD가 될 수 있다.
마을 사이를 잇는 길은 두 종류로 편한 길과 고행의 길이 있다.
편한 길은 고대부터 존재하던 길로 총 M개가 있으며 i번째 편한 길을 통하면 u_i번 마을에서 v_i번 마을로
시간 t_i를 들여 이동할 수 있다. 같은 마을 번호 쌍 (u_i, v_i)에 대해 u_i번 마을에서 v_i번 마을로
이동 가능한 편한 길이 둘 이상 존재할 수 있다.
고행의 길은 선대 LegenD에 의해 0개 이상 설치되었다.
u번 마을과 u번 마을로부터 편한 길 정확히 하나를 지나 도착할 수 있는 마을들 중 가장 격이 높은 마을의 격을 H_u라고 하자.
u번 마을에서 출발하는 고행의 길 하나를 통해 v번 마을로 가는 데에는 시간 p_u가 걸린다.
신은 도착하면 LegenD가 되는 마을을 정할 때,
토니가 도달할 수 있는 마을 중 해당 마을에 도달하기까지 걸리는 최소시간이 가장 긴 마을을 정했다.
토니가 LegenD가 되는 데 성공했다면, 걸린 시간은 최소 얼마일까?
입력
첫째 줄에 마을의 수 N과 편한 길의 수 M이 공백으로 구분되어 주어진다.
둘째 줄에 각 마을의 격을 나타내는 정수 h_1, h_2, …, h_N이 공백으로 주어진다.
셋째 줄에 각 마을에서 출발하는 고행의 길을 지날 때 걸리는 시간을 나타내는 정수 p_1, p_2, …, p_N이 공백으로 주어진다.
다음 M개 줄의 i번째 줄에 i번째 편한 길의 출발 마을 u_i, 도착 마을 v_i, 이동 시간 t_i가 주어진다.
출발 마을과 도착 마을이 같은 편한 길이 둘 이상 존재할 수 있다.
출력
첫째 줄에 토니가 LegenD가 되는 데 걸린 시간의 최솟값을 출력한다.
풀이
우선 편한 길을 그래프로 만들어주고, 격 배열도 간단히 만들 수 있다.
그 다음 고행의 길을 이어줘야 하는데, 이것을 전부 그으면 N^2개의 길이 생긴다.
답을 구하기 위해서는 다익스트라를 돌려야하는데, 이 선분을 모두 그을 수는 없다.
그렇기에 사용할 수 있는 방법은 보조점을 그어서 그래프 모델을 새로 구성하는 것이다.
이렇게 고행의 길이 모델링 되어있다고 하자.
4개의 점의 H[i]가 전부 다르고, 격을 오름차순으로 정렬한 상태라면 그림처럼 된다.
이렇게 모든 선을 그으면 N^2개의 길을 긋게 된다는 것을 알 수 있다.
그런데 보조점을 그리면 
그림처럼 표현할 수 있다.
오각형이 각각의 점에 대한 새로운 보조점이고, 이동하는 길은 t[i]만큼 시간이 걸린다.
그리고 고행의 길은 격 배열에 따라 오름차순으로 이어지므로 서로를 이어주고, 돌아가는 길은 0이다.
이렇게 하면 N개의 보조점을 통해서 고행의 길을 표현할 수 있고, 다익스트라로 문제를 해결할 수 있다.
보조점을 그려서 그래프를 새로 모델링한다는 아이디어가 재밌고 감동이 있었다.
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int main()
{
ios_base ::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);
cout.tie(NULL);
using P=pair<ll,ll>;
long long mod = 1e9+7;
bool flag=0;
long long a, b, c, d;
long long n, m, t, k;
long long ans = -1;
cin >> n >> m;
vector<ll> gyuk(n+1);
vector<ll> tt(n+1);
vector<ll> H(n+1);
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>gyuk[i];
H[i]=gyuk[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>tt[i];
}
vector<vector<P>> graph(2*n+1);
for(int i=0;i<m;i++){
cin >> a >> b >> c;
graph[a].push_back({b,c});
H[a]=max(H[a], gyuk[b]);
}
// for(int i=1;i<=n;i++){
// cout<<H[i]<<" ";
// }cout<<"\n";
set<ll> gyuk_set;
for(int i=1;i<=n;i++){
gyuk_set.insert(gyuk[i]);
}
map<ll,ll> gyuk_map; //좌표를 만들어줄 곳임.
vector<ll> gyuk_sort;
k=0;
for(auto at:gyuk_set){
gyuk_map[at]=n+1+k; //gyuk[i]가 인 것의 보조점.
k++;
gyuk_sort.push_back(at);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
auto it=upper_bound(gyuk_sort.begin(), gyuk_sort.end(), H[i]);
if(it!=gyuk_sort.end()){
graph[i].push_back({gyuk_map[*it], tt[i]});
}
}
for(int i=0;i<gyuk_sort.size()-1;i++){
graph[gyuk_map[gyuk_sort[i]]].push_back({gyuk_map[gyuk_sort[i+1]], 0});
}
for(int i=1;i<=n;i++){
graph[gyuk_map[gyuk[i]]].push_back({i, 0}); //돌아가는애?
}
vector<ll> dst(2*n+1, 1e16);
priority_queue<P, vector<P>, greater<P>> pq;
pq.push({0,1});
dst[1]=0;
while(!pq.empty()){
ll val=pq.top().first;
ll cur=pq.top().second;
pq.pop();
if(dst[cur]<val)continue;
for(auto at:graph[cur]){
if(dst[at.first]>val+at.second){
dst[at.first]=val+at.second;
pq.push({dst[at.first], at.first});
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
//cout << dst[i] << ' ';
if(dst[i]!=1e16 && ans<dst[i])ans=dst[i];
}//cout<<'\n';
cout<<ans;
return 0;
}